日报标题：两个人里选一个，这票我没法儿投啊
阿罗不可能性定理（Arrow 定理）是指，如果众多的社会成员具有不同的偏好，而社会又有多种备选方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果。
顾归，运去英雄不自由
尝试用比较通俗易懂的方式答一下这个问题......
假设学校里面要选优秀学生，而选择优秀学生的主要条件是看语文，数学，英语三科成绩，假设现在候选人只有小明和小红，并且根据他们的成绩单我们可以看到这样一个结果：
语文
小明>小红
数学
小明>小红
英语
小红>小明
老师一看，哎呀，小明同学在两门都比小红同学强，说明小明同学更加全面，那就选小明了！
但是这个时候，又多加了一位候选人小刚，老师们把小刚的成绩单拿过来再综合一比较，就得出了这样一个结果：
语文 小明>小红>小刚
数学 小刚>小明>小红
英语 小红>小刚>小明
老师再一看，坏了，小刚在数学和英语上都比小明强，说明小刚比小明全面；但是小红又在英语和语文上都比小刚强，说明小红比小刚全面；这样来看小红应该比小明更加全面。可是，我们一开始的结论是小明同学比小红同学更加全面啊？！这该怎么选呢？
熟悉这个场景的朋友们都知道，这就是一个经典的投票悖论：孔多塞悖论。阿罗不可能定理（Arrow's impossibility theorem）正是投票悖论的衍生。
之所以小刚的进入会对结果产生影响，就是因为在他进入后，每一个投票者（这里是语文数学英语三门学科）都产生了一个“度”的问题。在小刚进入之前，大家只知道，小明语文数学比小红好，但是好多少？小红英语比小明好，又好多少呢？现在小刚进入了，每个人（这里是每个学科）都被迫重新评价这个“度”的问题，小刚在这里成为了一把衡量“度”的尺子，使得最终出现“小明优于小红又劣于小红”的悖论。
那么有人不服气了，这样吧，我们给每个人积分，在任何一门学科上，拿第一的积三分，拿第二的积两分，拿第三的积一分，比较总积分不就行了？
这的确是一种不错的方法，在实际投票过程中也被运用，被称之为“波达投票法”。如果按照这个制度看来，小明小红小刚都是六分，大家打平了，皆大欢喜。
可是这个时候问题又来了，小刚突然又宣布退出竞选了！原因是肚子疼还是什么其他的我们先不去管他，老师们又得重新规划了，可是这个时候按照积分制，小明还是胜过了小红啊！投票结果居然与候选人的数量有关，这个便是波达投票悖论。
有的人又说了，既然如此干脆比分数吧，最后分数加在一起，谁最高谁被选上，这个方法怎么样？
老师们经过紧锣密鼓的计算，得出了这样一份表格
这样可以很清晰的看出答案：小红>小刚>小明，让我们为小红撒花庆祝！
别急，让我们现在把情景改一下，把小明，小红，小刚视为竞选某一职位的候选人，A,B,C 为三位投票人，每一科的成绩视为该人当选后对投票人的效用，于是这副表格就变成了这个样子：
从表格中我们可以看出，选择小红是最好的结果，因为小红带来的总效用最大。
但是在事实投票中存在什么问题呢？阿罗不可能定理给我们了这样几个“完美”的投票条件：
- 自由赋序：任何人的表态都不受到限制, 即不能规定某个人对备选对象的某种表 态。
- 弱帕累托(Pareto)原则：每个人都赞成的事情，就是社会应该赞成的事情。
- 对无关备选对象的独立性：当人们对两个备选对象进行评价时, 社会根据大家对它们 的态度就能决定，不必牵涉到对其他备选对象的评价。
- 非独裁 ：不能一个人说了算，而其他人的意见无足轻重。
就以我刚才举的例子来说，很显然选小红是最好的结果，选她可以给竞选人带来最大的总效用。但如果真的是三个人竞选，投票结果（按照波达投票法）将会是三个人打平。如果真的只剩下两个人（小红和小明），小红甚至会输！那么，应该怎么办呢？
一种办法是，C 说，选小红，我所获得的效用比你们两个加起来所损失的效用还要大，为了社会的最优化，就决定是小红了！
A 和 B 说：凭什么？难道不应该是一人一票吗？
C 说：不行，现在我是老大，你们得听我的！
然后就选了小红，在这个场景中，的确社会总效用达到了最大化，但是它违背了“非独裁”条件，因为投票并不是一人一票的公平竞争，而是 C 的独裁统治——如果我们排除了人际效用的可比性，而且在一个相当广的范围内对任何个人偏好排序集合都有定义，那么把个人偏好总合为社会偏好的最理想的方法，要么是强加的，要么是独裁的。阿罗不可能定理如是说。
另一种方法是，C 现在拉拢了 A，A 本来是准备选小明的，但是 C 以超过 5 的效用贿赂（或者叫结盟）A，导致 A 和 C 一起选小红，这个时候，同样可以达到总效用的最大化，但是它违背了“自由赋序”条件，使得 A 所选的并不是他真正想选的人。这样，同样也违反了“完美”投票条件的要求。
所以我们最终来看结论，阿罗不可能定理到底为什么违背我们的直觉，使得竞选人数的变化竟然会影响到我们的选择呢？就是因为每个投票人对每个竞选者选举上的效用实际上是不同的，但是在你的投票中无法直接表现出其效用的不同。在两个候选人时，你只有 YES 或者 NO 两种选择，所以没有什么直接的冲突。但是在三个即三个以上的候选人时，你对每个人被选上的效用间接的体现在你对其的排序上，无数人的效用加在一起，就出现了 A>B>C>A 这种奇怪的现象了。
这只是我个人的看法，欢迎大家的讨论和指证！