日报标题：小差异怎么形成大泡沫，用一个绝妙的经济学模型来解释
Reinhardt Jin
卖空限制（ Short-sell Constraints ）+ 异质信念（ Heterogeneous Belief ）=投机性泡沫（ Speculative Bubble ）
这个模型是 Harrison 和 Kreps 1978 年提出的。两位作者认为，假定不允许卖空，那么持有某项资产的投资者可以从这项资产上获得两种价值——资产基本面（ fundamental ）的价值，以及将资产转售给其他投资者能带来的潜在收益。后者可以看做一个转售期权（ resale option ）的价值。由于转售不一定能获利，故被看做一个投机行为。转售期权的价值也被看做投机性泡沫。
下面用一个简单的例子来介绍这个模型。原模型对于广泛的读者来说稍显晦涩，在此用熊伟老师 2013 年一篇综述里的例子来阐释。下图同样也来自这篇综述。
考虑如上图所示的资产。该资产共存续 3 个时点。在时点 0 发行，在时点 2 实现收益。在时点 1 时，资产等可能地处于状态 u 或状态 d 。处于状态 u 时，有 80% 的可能性实现 100 元的收益，有 20% 的可能性实现 50 元的收益。处于状态 d 时，有 20% 的可能性实现 50 元的收益，有 80% 的可能性一分钱不值。
容易发现，这个资产相当于在时点 2 以 40% 的概率实现 100 元收益，以 20% 概率实现 50 元收益，以 40% 概率实现 0 元收益。其期望收益为 50 元。
下面考虑两个风险中性的投资人。易知该项资产的基本面对于两个投资人来说都是 50 元。我们来看看他们的信念分别是什么。
二者在时点 0 都对资产保持（0.5，0.5）的信念。即认为资产以相等的可能性进入状态 u 和状态 d 。在时点 1 时，投资人甲的信念并不改变，依然认为从时点 1 看过去，时点 2 实现高收益还是低收益的概率相等。但投资人乙观察到状态的实现，从而更新自己的信念。假定状态为 u ，则将信念更新为（0.8，0.2），即 0.8 的概率获得两个可能收益中较好的（对 u 来说是 100 元）；假定状态为 d ，则将信念更新为（0.2，0.8）。
假定双方都知道对方更新信念的方式。那么在时点 1 状态为 u 的情形下，甲对资产的评价是 75 元=0.5*100+0.5*50 ，而乙对资产的评价为 90 元=0.8*100+0.2*50 。由于乙在时点 1 对资产的评价比甲高，因此甲可以以高于 75 元的价格向乙出售该资产。获利的最高额度是 15 元。
反之，若时点 1 状态为 d ，则甲对资产的评价是 25 元=0.5*50+0.5*0 ，而乙对资产的评价是 10 元=0.2*50+0.8*0 。这时乙可以向甲以高于 10 元的价格出售该资产，获利的最高额度同为 15 元。
简单起见，假定所有价差都被出售者获得。这样在时点零，无论是甲还是乙持有这项资产，都相当于持有一个在时点 1 以 50% 的概率可以行权净赚 15 元的期权。对于风险中性的投资者来说，这个期权的价值是 7.5 元。同时，这个资产的基本面在时点 0 的期望是 50 元。因此这个资产在时点 0 对于甲和乙的价值都是 7.5+50=57.5 元。但是这个资产的期望收益只有 50 元。所以多出来的那 7.5 元“期权价值”，就是这项资产价格的泡沫。
这个模型的漂亮之处在于，在时点 0 ，两个投资人的信念都是无偏的——无论从哪一个人的信念出发看，这项资产在时点 0 的期望收益都是 50 元。但是在时点 1 ，无论是正确地更新了信念的人还是没有正确地更新了信念的人，都有机会通过出售资产获利。而获利的原因是因为不允许卖空，所以在时点 1 时，不持有资产的人无法从对资产评价的差异中获利。
硬性或软性（借入资产成本特别高）不允许卖空的资产有很多。而后来的研究也发现，即使是信念上很小的差异也足以支撑很大的投机性泡沫。而且泡沫和交易量互为正反馈。现实世界中的资产也远不止三个有效状态，对资产价值的预期也往往是有偏的。既然一个这么简单的资产和两个精明的交易者就足以产生投机性泡沫了，那么在更复杂的现实世界中又如何呢？
参考文献：
Harrison, J. M., & Kreps, D. M. (1978). Speculative investor behavior in a stock market with heterogeneous expectations. The Quarterly Journal of Economics, 323-336.
Xiong, W. (2013). Bubbles, crises, and heterogeneous beliefs (No. w18905). National Bureau of Economic Research