经济学角度看可证伪性

近年来有几位经济学家在尝试严格化“可证伪性”这个概念，得到一非常有趣结论：如果尝试提出理论的人有可能了解真实情况，也有可能一无所知，可证伪性标准无法阻止完全不了解情况的人提出理论。以下来自 Olszewski 和 Sandroni（2011）。

考虑以下场景。甲乙面对一罐小球，每个球可能是  种颜色之一 。甲有可能看到罐子里球的颜色，有可能看不到，乙看不到。甲可以选择乙提出一个“理论”：罐子中小球颜色的概率分布。这个理论是可证伪的，等价于在甲给出的概率分布中，至少有一种颜色概率是 。

乙只会考虑可证伪的理论。在甲提出理论之后，乙会从罐子里随机抽出一个小球。如果理论没有被证伪，甲会得到  的效用；如果确实证伪了，甲会失去  的效用。这里也可以改写成：如果乙抽出了甲声称不可能抽到的球，甲得到  ，否则甲得到  。如果甲选择不提出理论，他 / 她得到  的效用。

乙当然希望得到正确的理论。因此，问题来了。是否存在一对  ，使得甲无法鱼目混珠呢？所谓无法鱼目混珠，就是如果甲真的看到了小球，他 / 她会选择向乙提出理论；如果甲压根没有看到小球，他 / 她就会放弃提出理论。如果两种情况下，甲都会提出理论，那“可证伪性”这个限定就没什么用处了。

如果甲已经提出了一个理论，考虑第二阶段乙抽取可能出现  种状态，这对应甲可能获得效应的  种状态。现在，假定甲持有一个随机发生器，里面预存了许多理论和对应的概率。如果乙要求一个理论，这个机器会把其中一种理论按对应的概率发送给乙。

甲的决策取决于他 / 她怎么看待不确定性情况下的效用。对  种状态中任意一种，假如此时理论被证伪的概率是  ，则甲在此种状态下获得状态是 。假定甲相当厌恶不确定性，此时，符合条件的效用函数是 （Gilboa 和 Schmeidler，1989）。这相当于甲只会选择最“保险“的方案。””如果甲没有那么厌恶不确定性，鱼目混珠会更加容易。

这里，只要  ，甲就可以鱼目混珠。方法如下：前面已经说过小球可能有  种颜色。首先取  个概率分布，每一个都预测其中一种颜色不可能取到，接着按每一个都是  的概率，将这些理论输入随机发生器。这样，无论乙抽出那种颜色，能够证伪甲的理论的概率都是 。根据上一段，甲此时的效用是 。这样，乙就没法把两种甲分开了。

你可能提出如下两个怀疑。首先，这里乙只能尝试一次，如果能尝试多次，是不是甲就无法鱼目混珠了呢？其次，这里假设了一个相对  来说比较大的  ，如果把  改小一些，可能甲就蒙混不过去了，因为一旦理论被证伪损失太大。

这个想法是错误的。首先要严格定义可证伪性。假设离散时间，标号由  至无穷。乙在每一回合可以观察到一个“结果”，记作  ，且有 。由第  期至第  期观察到的一组结果记作 ，而期间所有可能观察到的  的集合记作  。一个理论要能对已经观察到的一组结果预测之后  的分布，这意味着理论  是从  到  的一个映射。

用大白话说，理论就像时事点评家或股评家，无论之前世界如何变化，总能及时给出预测。尽管这个预测可能模棱两可。现在，甲已经提出了一个理论  ，那么实际结果  发生的概率 ，其中第一项是观察结果为空时理论给出的预测，第二项是基于这项预测，之后的结果按理论发生的条件概率。

在此基础上即可严格定义可证伪性：一个理论  是可证伪的，当且仅当对任意一组观测结果  ，存在一组分支 ，使 。这个定义翻译成大白话就是：一个理论可证伪等价于对于世界未来可能发生的一切状态，总有一个接下去可能发生的有限的结果序列，在这个理论里发生的概率为  。

这实际上是把大白话重新翻译了一遍，意思就是无论如何，理论要预测某些事情“不可能”，这样我们才可能通过观测这些事情来证伪。这里马上可以给出前述取球问题中描述情形的扩展定理：只要  且 ，完全不了解真实情况的甲总可以找到一种可证伪的随机方案使自己的期望效用大于 。证明是构造性的，具体请参见原文，直觉仍是取均匀分布再混合。

不过，Popper 论证中依赖的重要概念，验证（verification）和反驳（refutation）的不确定性仍有其意义。不妨将甲的效用函数放宽为 。等式右边第一项是甲提出理论后获得的效用，第二项是随着结果一个个观察到甲后续能获得的效用。给定这个效用函数，如果甲觉得理论  能给自己带来正效用，他 / 她才会提出，否则不会提出。

如果大加号内部的东西全部非负，这说明后续观察的结果只会加强而非减弱乙对甲理论的支持，这就是证实的思路；如果全部非正，这说明支持程度只会减弱不会加强，这就是证否。可证伪性实际上只是这个设定中的一个特例：左边第一项正负取决于理论是否满足可证伪性，后面各项全部为 。此时相当于甲只会考虑可证伪的理论。

两者不是对称的。假设甲此时可以提出任意理论，不限于可证伪的，这里不加证明地叙述原文证明的两个命题：如果知晓真实情况的甲会接受一种证实的方案，鱼目混珠的甲也会，这意味着基于证实的验证方案没有效果；相反，总存在一种证否的方案来区别二者。

其它一些对 Popper 的批评也已经被经济学家形式化。譬如，Al-Najjer、Pomatto 和 Sandroni 严格定义了概率命题（claim）的验效（validation），并证明了一无所知的甲提出的理论是否能被驳倒，取决于他 / 她的理论是否可验效的（2014）。Chambers、Echenique 和 Shmaya 则用公理化的方法严格定义了“理论”和“实证”（2014）。可以期待经济学研究在这方面产生更多成果。

参考文献：

Al-Najjar N, Pomatto L, Sandroni A. Claim validation[J]. The American Economic Review, 2014, 104(11): 3725-3736.

Chambers C, Echenique F, Shmaya E. The axiomatic structure of empirical content[J]. The American Economic Review, 2014, 104(8): 2303-2319.

Gilboa I, Schmeidler D. Maxmin expected utility with non-unique prior[J]. Journal of Mathematical Economics, 1989, 18(2): 141-153.

Olszewski W, Sandroni A. Falsifiability[J]. The American Economic Review, 2011, 101(2): 788-818.