数学专业的人是不是可以随便想个两位数然后用计算器算五次方，五秒之内把根号开回去？
匡世珉，和人类的感情破裂
如果我没有理解错题主的意思，那么这个『开五次方根还原两位数』的『口算』其实非常简单，而且根本不需要五秒，我觉得只要一秒就够了……我把『口算』两个字加了引号，因为几乎就没有计算。
先说方法：
1. 最重要的一点是，任何一个整数的五次方的末位数跟原来的数是一样的。比如 23 的五次方是 6436343，它们的末位数都是 3（至于为什么，这与数论中欧拉定理相关，之后再讲）。所以，不需要任何计算就可以知道原数的末位。
2. 由于原数只是两位数，所以只需要确定十位上的数就好了。哪怕两个两位数只相差 10，其五次方的差别都会很大，于是只需要大体看一下结果是在哪个范围内就可以确定十位了。实在不行就背一下 1 到 9 的五次方，然后看一下结果去掉最后五位后处于哪两个数之间就好了。
举个例子：
如果五次方的结果是：
2219006624
那么我们立即可以知道原数的末位是 4；接着，这个数去掉最后五位后是 22190，处于 7 的五次方 16807 与 8 的五次方 32768 之间，所以十位是 7。所以答案是：
74
就是这么简单。
而且，对于稍微熟悉一点数学的人来说，1 到 9 的五次方也没几个要背的，大部分都是很熟悉的数，比如 32、1024 等等。
然后我大概讲一下欧拉定理：
一个正整数的末位数就是这个数除以 10 的余数，这在数学上被称为『模 10』。
任何整数的 k 次幂模 10 的结果都会呈现长度为 4 的周期（可能有更短的），所以说任何整数的五次方的末位数跟它本身（一次方）是一样的。
为什么呢？因为在 1 到 9 之间有 4 个数与 10 互质（1、3、7、9）。
欧拉定理告诉我们，对于任意正整数 a 和 n，如果它们互质，那么小于 n 并与 n 互质的正整数的个数是 a 的 k 次幂模 n 的结果的周期：
.
比如，对于任何一个素数 p，1 到 (p-1) 这 (p-1) 个数都与 p 互质，所以只要 a 不是 p 的倍数，那么就有：
.
这正是费马小定理。
所以费马小定理其实是欧拉定理的特例，而这两个结论从群论的角度看几乎就是 trivial 的……（考虑 和拉格朗日定理）
（以及，欧拉定理是 RSA 加密算法的理论基础，而后者在网络安全领域有极其广泛的应用。）
所以从这个例子可以看出，有时候别人觉得学数学的人算得快，其实他们可能只是用了一些定理和技巧而已，没有什么超乎常人的能力。真正厉害的是发现和证明这些定理的数学家们 =w=
就我自己接触到的人而言，做组合数学和一部分做数论的人似乎口算能力会比较强。但也可能是因为他们接触这些数字比较频繁。
比如哈代提到的拉马努金的梗：
I remember once going to see him when he was ill at Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavorable omen. "No," he replied, "it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways."
（记得我有次去 Putney 看望生病的拉马努金，乘坐的出租车的牌号是 1729。在我看来这个数字没什么特别之处，希望这不要是个凶兆。“不，”他说，“这是个非常有趣的数：它是最小的能用两种方法表示成两个立方数之和的数。”）
如果拉马努金真的是瞬间口算出来我也不会感到惊讶，但我觉得更可能的是，他很早就在思考立方数时注意到 1729 的这个性质了……（更多信息看这里：Taxicab number）
当然，也有一些数学家真的是口算能力极其强，比如冯诺依曼。虽说关于他的故事可能有夸张的成分，但他毫无疑问可以很轻易地口算八位数乘法，见 Mental arithmetic。
到这个程度的毕竟是极少数，但尽管如此，似乎不少人都会觉得『学数学的人口算能力强』……经常会有人跟我说：『哎你来算一下这个总价 / 折扣 / 小费，你不是学数学的吗？』
不过我也见过相反的 stereotype，比如这个：Quora: Why is there a stereotype that math majors can't do arithmetic（为什么会有人觉得数学专业的人都不会计算？）
所以我也不知道学数学与口算能力之间到底有没有关系，在几个数据库里也没找到这个方面的论文。我对此也很好奇 =w=（顺便吐槽一句，我发现不少心理学和神经科学实验中，选取『数学好』的人的标准是正整数四则运算和 SAT 数学成绩……）
那么就这样 =w=