如何让一个 5 岁小孩听懂什么是选择公理？

匡世珉，和人类的感情破裂

由于要让 5 岁小孩子听懂，所以解释时不可避免地会为了保证可读性而降低严谨性。想严谨地学习选择公理的知识可以阅读公理化集合论的教材，我也会在最后放上一些扩展阅读的链接。

开始咯！

选择公理有很多种表述形式和等价命题，一言以蔽之：

对于所有的集族，均存在选择函数。

所谓集族，就是由非空集合构成的集合；而选择函数，就是一个定义在集族上的函数 ——对于集族里的集合， . 小朋友懂了吗？

（感觉要被打……似乎只有 5 岁的陶哲轩才可以看懂……）

好吧好吧，我这么说，选择公理的意思是：

如果有一堆非空集合，那么我们可以从每个集合里各取出一个元素。

是的，就是这样。（不开玩笑地说，上面这句话应该高中生就能看懂了吧？）

如上图，左边的表示了一堆非空集合，然后选择公理说，我们可以从每个非空集合里选出一个元素，就是一个例子。

什么叫『集合』啊？

额，5 岁小朋友还在上幼儿园，并不知道集合是啥……那我接下来的话就真的是对幼儿园小朋友说的了：

阿尔法幼儿园里小班、中班、大班各有 3 个，所以总共有 9 个班。下个月市里要举办一场幼儿园之间的跑步比赛，阿尔法幼儿园决定从每个班里选出一个小朋友，组成一支 9 个人的代表队，代表学校参赛。这支队伍能选出来吗？

当然能咯！

没错，而且选择方法有很多。最简单的方法就是：

方法一：让一个体育老师到每个班上随便选一个同学，组成一支队伍。

当然了，为了取得更好的成绩，我们可以用：

方法二：每个班进行一次班内的跑步比赛，跑第一名的同学进入校代表队。

如果没有那么在乎比赛成绩的话，其实方法一和方法二对大家都没什么区别，除了——可怜的体育老师！

采用方法一，那么体育老师需要到每个班都跑一趟；他可能会庆幸整个阿尔法幼儿园只有 9 个班。隔壁的贝塔幼儿园有 30 个班，每个班跑一趟要累死了！

采用方法二，每个班则可以根据『班内跑步比赛第一名入选校队』这个规则来选出代表，不需要体育老师一个班一个班地跑啦。

对于有些奇怪的幼儿园来说，这两种方法就不是都可以采用了，比如说街对面的伽玛幼儿园。

伽玛幼儿园有……额……无穷多个班：1 班、2 班、3 班、4 班……数也数不完。

这个时候，方法一就不管用啦！如果让体育老师一个个跑，那么他永远也跑不完所有的班。

但是方法二还是可以的，我们可以直接命令每个班根据『班内跑步比赛第一名入选校队』这个规则来选出代表。

嗯！这个『班内跑步比赛第一名入选校队』的规定其实就是我之前说的『选择函数』，它能帮我们从每一个班（非空集合）里选出一个代表（元素）。选择公理就是说，对于任何一个幼儿园（集族），我们都可以找到一个规定（选择函数），让每个班按照这个规定选出一个代表（元素）。

哦……就是这样啊。那这不是很简单吗！

啊，对于跑步比赛来说是很简单。不过……你还记得上个月市里的『先进宝宝』的评选活动吗？当时可就出了事儿了：

由于『先进宝宝』没有一个可量化的具体标准，孩子们争吵得不可开交，甚至有些家长都跑到幼儿园里闹。最后，阿尔法幼儿园决定，干脆让体育老师到每个班上随便选一个小朋友进校队好了。反正这个评选活动也挺莫名其妙的。

而伽玛幼儿园这下就不好办了……无穷多个班，怎么办？于是他们最终还是决定用老方法：『班内跑步比赛第一名入选校队』。

啊，似乎『班内跑步比赛第一名入选校队』是一个万能方法啊！如果想不到什么好的选举方案，这个方法总是可以用。

没错，对于幼儿园来说是这样。可是如果每个班不是一群小朋友呢？而是一群芭比娃娃或者一群乐高小人怎么办？没办法进行跑步比赛，那如何制定一个从每个班里选出一个代表的规则呢？

额……

在数学里我们就会遇到这样的问题。数学家所说的『集合』就相当于幼儿园的班，只不过集合里的元素不一定是小朋友，也可能就是芭比娃娃或乐高小人，也可以是数字，或是一堆三角形。而这时候我们就不能使用『班内跑步比赛第一名入选校队』的方法来从每个集合里选一个元素出来了……

然而，数学家有时候需要在每个集合里挑一个元素出来。由于不知道怎么制定规则（选择函数），他们干脆制定了『选择公理』：不管怎么着，反正总能从每个非空集合里选出一个元素！

这不是废话么？为什么一定要找一个所谓的『选择函数』呢？非空集合就是至少有一个元素的集合，那直接从每一个非空集合里随便选一个元素出来不就好了！数学家真是无聊= =

是啊，我们是可以从每个非空集合里直接选一个元素出来——当集合的数量是有限的时候。如果集合有无穷多，我们一个集合一个集合地选，永远也选不完啊。还记得伽玛幼儿园的情况吗？

我真是搞不懂你们数学家！每个非空集合里都有元素存在，那随便选一个不就行了吗？不用体育老师一个个选，直接规定『每个班随便选一个代表』不就好了！

额，数学家是一群极其严谨的人……你说『随便选』，他们是听不懂的……怎么随便选？掷骰子？每个班几个人就用几个面的骰子？好吧，那我告诉你，伽玛幼儿园不仅有无穷多个班，而且每个班里都有无穷多的小朋友……

其实还有很多例子，你现在还在上幼儿园，可能不一定能听懂。不过我先写出来，等你上了中学应该就能听懂啦～

例子一：

正整数集合是，现在我们考虑一堆（可能无穷多个）正整数集合的非空子集。

这个时候我们希望从每个非空子集中选一个元素出来，怎么办呢？

很简单，我们选出每个子集内最小的那个数！也就是说，选择函数定义为中最小的数。

例子二：

考虑实数轴上所有有限长度（大于零）的闭区间，这些区间就是一堆非空集合。那么怎么从每个区间里取一个元素出来呢？

啊，我们可以把定义为的中点！

例子三：

考虑实数的所有非空子集。这下怎么从每个非空子集中选一个元素呢……

想想看？……

……

目前为止，没有人能找到一个恰当的作为选择函数。并且，模型论(model theory)中有一些颇具说服力的论证表明，这样的是不可能找到的。

（当然了，如果要详细论证这一点，那先得定义什么叫『找到』……）

所以，选择公理令人纠结的地方在于，『选择』和『存在』到底是什么关系。一个东西『存在』，我们就可以『选择』它吗？

接受了选择公理，就意味着我们假定了选择函数始终存在，即使我们没有办法给出任何具体的构造和例子。

（感兴趣的话可以看看 Vanderbilt 的数学教授 Eric Schechter 的文章：Constructivism Is Difficult）

跟现实世界不同，数学里所有的东西都是『形式化的』，即使是像『42』这样的数字也是：你可以拿来 42 个苹果，或者召集 42 个小伙伴，但现实生活中没有『42』这个东西。

所以，我们有很多『数学世界』，每一个世界都有不同的规则，我们把这些规则称为『公理』。只要这些公理不会导致矛盾，那么无论公理有多么奇怪都是可以的。

哥德尔和寇恩证明了，无论接受选择公理与否，都不会导致矛盾，只是身处不同的『数学世界』而已。

不过，除了一些研究集合论的数学家和逻辑学家以外，大部分数学家都选择接受选择公理，因为在含有选择公理的数学世界里，事情会简单一些。

罗素在他的《数理哲学导论》里吐槽过（不是原话，但意思一样）：

To choose one sock from each of infinitely many pairs of socks requires the Axiom of Choice, but for shoes the Axiom is not needed.

（如果有无穷多双袜子，那么从每一双里选出一只需要用到选择公理；而如果是鞋子则不需要。）

这是因为袜子是不分左右的（不要较真，理解罗素的意思就行），所以我们没有办法规定选哪一只。而鞋子是分左右的，所以我们可以直接给出选择函数：『选左脚的鞋子！』

为什么罗素要强调『无穷多双袜子』呢？因为如果是有限双袜子，我们就可以『一只一只地选』，就像之前幼儿园例子中的『方法一』一样。

UIC 的数学教授 Jerry Bona 调侃过：

The Axiom of Choice is obviously true; the Well Ordering Principle is obviously false; and who can tell about Zorn's Lemma?

（选择公理显然是对的嘛！良序原理显然是错的嘛！佐恩引理是对还是错来着？）

这是个玩笑话，因为这三个命题都是等价的。不过选择公理看起来确实『显然正确』，良序原理看起来确实『不那么靠谱』……不过直觉常常与数学真理相悖，所以有这样的感觉也是正常的。

好吧，讲了这么多啦，小朋友你还有什么问题吗……？