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匡世珉，和人类的感情破裂
由于要让 5 岁小孩子听懂，所以解释时不可避免地会为了保证可读性而降低严谨性。想严谨地学习选择公理的知识可以阅读公理化集合论的教材，我也会在最后放上一些扩展阅读的链接。
开始咯！
选择公理有很多种表述形式和等价命题，一言以蔽之：
对于所有的集族，均存在选择函数。
所谓集族，就是由非空集合构成的集合；而选择函数，就是一个定义在集族上的函数 Image may be NSFW.
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——对于集族里的集合 Image may be NSFW.
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Clik here to view. . 小朋友懂了吗？
（感觉要被打……似乎只有 5 岁的陶哲轩才可以看懂……）
好吧好吧，我这么说，选择公理的意思是：
如果有一堆非空集合，那么我们可以从每个集合里各取出一个元素。
是的，就是这样。（不开玩笑地说，上面这句话应该高中生就能看懂了吧？）
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如上图，左边的 Image may be NSFW.
Clik here to view. 表示了一堆非空集合，然后选择公理说，我们可以从每个非空集合里选出一个元素，Image may be NSFW.
Clik here to view. 就是一个例子。
什么叫『集合』啊？
额，5 岁小朋友还在上幼儿园，并不知道集合是啥……那我接下来的话就真的是对幼儿园小朋友说的了：
阿尔法幼儿园里小班、中班、大班各有 3 个，所以总共有 9 个班。下个月市里要举办一场幼儿园之间的跑步比赛，阿尔法幼儿园决定从每个班里选出一个小朋友，组成一支 9 个人的代表队，代表学校参赛。这支队伍能选出来吗？
当然能咯！
没错，而且选择方法有很多。最简单的方法就是：
方法一：让一个体育老师到每个班上随便选一个同学，组成一支队伍。
当然了，为了取得更好的成绩，我们可以用：
方法二：每个班进行一次班内的跑步比赛，跑第一名的同学进入校代表队。
如果没有那么在乎比赛成绩的话，其实方法一和方法二对大家都没什么区别，除了——可怜的体育老师！
采用方法一，那么体育老师需要到每个班都跑一趟；他可能会庆幸整个阿尔法幼儿园只有 9 个班。隔壁的贝塔幼儿园有 30 个班，每个班跑一趟要累死了！
采用方法二，每个班则可以根据『班内跑步比赛第一名入选校队』这个规则来选出代表，不需要体育老师一个班一个班地跑啦。
对于有些奇怪的幼儿园来说，这两种方法就不是都可以采用了，比如说街对面的伽玛幼儿园。
伽玛幼儿园有……额……无穷多个班：1 班、2 班、3 班、4 班……数也数不完。
这个时候，方法一就不管用啦！如果让体育老师一个个跑，那么他永远也跑不完所有的班。
但是方法二还是可以的，我们可以直接命令每个班根据『班内跑步比赛第一名入选校队』这个规则来选出代表。
嗯！这个『班内跑步比赛第一名入选校队』的规定其实就是我之前说的『选择函数』，它能帮我们从每一个班（非空集合）里选出一个代表（元素）。选择公理就是说，对于任何一个幼儿园（集族），我们都可以找到一个规定（选择函数），让每个班按照这个规定选出一个代表（元素）。
哦……就是这样啊。那这不是很简单吗！
啊，对于跑步比赛来说是很简单。不过……你还记得上个月市里的『先进宝宝』的评选活动吗？当时可就出了事儿了：
由于『先进宝宝』没有一个可量化的具体标准，孩子们争吵得不可开交，甚至有些家长都跑到幼儿园里闹。最后，阿尔法幼儿园决定，干脆让体育老师到每个班上随便选一个小朋友进校队好了。反正这个评选活动也挺莫名其妙的。
而伽玛幼儿园这下就不好办了……无穷多个班，怎么办？于是他们最终还是决定用老方法：『班内跑步比赛第一名入选校队』。
啊，似乎『班内跑步比赛第一名入选校队』是一个万能方法啊！如果想不到什么好的选举方案，这个方法总是可以用。
没错，对于幼儿园来说是这样。可是如果每个班不是一群小朋友呢？而是一群芭比娃娃或者一群乐高小人怎么办？没办法进行跑步比赛，那如何制定一个从每个班里选出一个代表的规则呢？
额……
在数学里我们就会遇到这样的问题。数学家所说的『集合』就相当于幼儿园的班，只不过集合里的元素不一定是小朋友，也可能就是芭比娃娃或乐高小人，也可以是数字，或是一堆三角形。而这时候我们就不能使用『班内跑步比赛第一名入选校队』的方法来从每个集合里选一个元素出来了……
然而，数学家有时候需要在每个集合里挑一个元素出来。由于不知道怎么制定规则（选择函数），他们干脆制定了『选择公理』：不管怎么着，反正总能从每个非空集合里选出一个元素！
这不是废话么？为什么一定要找一个所谓的『选择函数』呢？非空集合就是至少有一个元素的集合，那直接从每一个非空集合里随便选一个元素出来不就好了！数学家真是无聊= =
是啊，我们是可以从每个非空集合里直接选一个元素出来——当集合的数量是有限的时候。如果集合有无穷多，我们一个集合一个集合地选，永远也选不完啊。还记得伽玛幼儿园的情况吗？
我真是搞不懂你们数学家！每个非空集合里都有元素存在，那随便选一个不就行了吗？不用体育老师一个个选，直接规定『每个班随便选一个代表』不就好了！
额，数学家是一群极其严谨的人……你说『随便选』，他们是听不懂的……怎么随便选？掷骰子？每个班几个人就用几个面的骰子？好吧，那我告诉你，伽玛幼儿园不仅有无穷多个班，而且每个班里都有无穷多的小朋友……
其实还有很多例子，你现在还在上幼儿园，可能不一定能听懂。不过我先写出来，等你上了中学应该就能听懂啦～
例子一：
正整数集合是 Image may be NSFW.
Clik here to view.，现在我们考虑一堆（可能无穷多个）正整数集合的非空子集。
这个时候我们希望从每个非空子集中选一个元素出来，怎么办呢？
很简单，我们选出每个子集内最小的那个数！也就是说，选择函数 Image may be NSFW.
Clik here to view. 定义为 Image may be NSFW.
Clik here to view. 中最小的数。
例子二：
考虑实数轴上所有有限长度（大于零）的闭区间，这些区间就是一堆非空集合。那么怎么从每个区间里取一个元素出来呢？
啊，我们可以把 Image may be NSFW.
Clik here to view. 定义为 Image may be NSFW.
Clik here to view. 的中点！
例子三：
考虑实数的所有非空子集。这下怎么从每个非空子集中选一个元素呢……
想想看？……
……
目前为止，没有人能找到一个恰当的 Image may be NSFW.
Clik here to view. 作为选择函数。并且，模型论(model theory)中有一些颇具说服力的论证表明，这样的 Image may be NSFW.
Clik here to view. 是不可能找到的。
（当然了，如果要详细论证这一点，那先得定义什么叫『找到』……）
所以，选择公理令人纠结的地方在于，『选择』和『存在』到底是什么关系。一个东西『存在』，我们就可以『选择』它吗？
接受了选择公理，就意味着我们假定了选择函数 Image may be NSFW.
Clik here to view. 始终存在，即使我们没有办法给出任何具体的构造和例子。
（感兴趣的话可以看看 Vanderbilt 的数学教授 Eric Schechter 的文章：Constructivism Is Difficult）
跟现实世界不同，数学里所有的东西都是『形式化的』，即使是像『42』这样的数字也是：你可以拿来 42 个苹果，或者召集 42 个小伙伴，但现实生活中没有『42』这个东西。
所以，我们有很多『数学世界』，每一个世界都有不同的规则，我们把这些规则称为『公理』。只要这些公理不会导致矛盾，那么无论公理有多么奇怪都是可以的。
哥德尔和寇恩证明了，无论接受选择公理与否，都不会导致矛盾，只是身处不同的『数学世界』而已。
不过，除了一些研究集合论的数学家和逻辑学家以外，大部分数学家都选择接受选择公理，因为在含有选择公理的数学世界里，事情会简单一些。
罗素在他的《数理哲学导论》里吐槽过（不是原话，但意思一样）：
To choose one sock from each of infinitely many pairs of socks requires the Axiom of Choice, but for shoes the Axiom is not needed.
（如果有无穷多双袜子，那么从每一双里选出一只需要用到选择公理；而如果是鞋子则不需要。）
这是因为袜子是不分左右的（不要较真，理解罗素的意思就行），所以我们没有办法规定选哪一只。而鞋子是分左右的，所以我们可以直接给出选择函数：『选左脚的鞋子！』
为什么罗素要强调『无穷多双袜子』呢？因为如果是有限双袜子，我们就可以『一只一只地选』，就像之前幼儿园例子中的『方法一』一样。
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UIC 的数学教授 Jerry Bona 调侃过：
The Axiom of Choice is obviously true; the Well Ordering Principle is obviously false; and who can tell about Zorn's Lemma?
（选择公理显然是对的嘛！良序原理显然是错的嘛！佐恩引理是对还是错来着？）
这是个玩笑话，因为这三个命题都是等价的。不过选择公理看起来确实『显然正确』，良序原理看起来确实『不那么靠谱』……不过直觉常常与数学真理相悖，所以有这样的感觉也是正常的。
好吧，讲了这么多啦，小朋友你还有什么问题吗……？
好烦哦！数学家真是小题大做，为了这么个小小的选择公理都要纠结半天！
额，选择公理可不『小』！在数学上，如果接受了一个公理，那么从这个公理推出的所有定理都必须被接受。选择公理看起来很显然，但从中可以推出极其反常识的东西，比如著名的巴拿赫 - 塔斯基悖论(Banach-Tarski paradox)：
一个球可以被分成五份，接着拼成两个与原来一样大的球。
没错，并不是两个球的总体积跟原来一样大，而是每个球都跟原来一样大。
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嗯，是的，如果承认了选择公理，那么这个命题确实可以从它一步一步严谨地推导出来。
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别气馁，连数学家也觉得这个反直觉呢，所以才把它称为『悖论』。不过，尽管称其为『悖论』，数学家还是得接受它，因为这确确实实可以从选择公理推导出来。
YouTube 上有关于这个悖论的具体的科普：The Banach-Tarski Paradox
国内的小伙伴可以戳这里：【中字】分球怪论 The Banach-Tarski Paradox
等等，那这不是违反了物质守恒？球的密度不变，体积变成了之前的两倍，那质量不也凭空翻了倍？
这个问题问得好……可是你怎么定义『体积』？分球的过程牵涉到一些『体积不可定义』的部分……额，总之，选择公理的水很深，数学的水很深。如果真的想把这些都弄清楚，需要学习公理化集合论。小朋友等你长大了以后可以来学呦=w=
诶，等等，小朋友，你竟然已经知道了物质守恒！
……
好了不开玩笑了=w= 我就讲到这里吧！
参考资料 / 扩展阅读：
Wikipedia：Axiom of choice
关于选择公理的 FAQ：Relevance of the Axiom of Choice
分析及其基础的自学手册：Handbook of Analysis and its Foundations
广义黎曼积分的介绍：An Introduction to the Gauge Integral
Eric Schechter 教授写的关于选择公理的科普：Axiom of Choice
那么就这样=w=