戴为，广义学渣
经典力学中反常识的东西不太多，因为经典力学的整个框架就是基于“常识”的——牛顿定律，作为经典力学的圣经，看起来简直是直观得不能再直观的东西了。后来的拉格朗日力学、哈密顿力学，虽然不再像牛顿力学那么直观，但都是与牛顿力学等价的。
但是，这并不妨碍我们从中得到一些有趣的结论，一定程度上可以算得上反直觉：
（先放个鸣谢：下文中大部分图都来自清华大学李岩松老师的讲义）
1. 进动
进动其实是比较常见的现象，但对于大多数人来说理解起来并不是非常直观。
如果你小时候玩过这种陀螺
你应该做过这样的事——让陀螺转起来以后，故意将它斜着放置。你会发现，陀螺不会倒，而是在自转的同时，绕着过接触点的铅直线旋转。这样转圈圈就叫进动。
牛顿力学告诉我们，陀螺受到一个竖直向下的重力，重力对接触点有一个力矩。直觉告诉我们，这力矩应该使它翻倒。
但实验表明它就是不倒。
甚至，即使你像下图那样近乎平行地放置陀螺，它也不倒。
是不是看起来非常不科学？
这现象可以用一句话来解释——角动量是个矢量。
（好吧，虽然人家是赝矢量，但起码旋转变换和矢量是一样的......不要瞧不起赝矢量......）
陀螺初始是旋转着的，因此具有一个沿轴的角动量。力矩是角动量改变的原因。对一个高速转着的陀螺，它的初始角动量大小很大，重力矩的效果仅仅是改变了角动量的方向。进动就是角动量方向在不断改变的体现。
计算可得：
进动角速度大小
上式中 为质心到接触点的长度，
为自转角速度的大小。
值得一提的是， 大小与倾角
无关。
有兴趣的读者可以自行证明。具体的计算过程任何一本大物力学书上应该都有。
进阶版：
上面讲的是最 naive 的进动。现实中哪有这么理想的情况啊。
进动往往是和章动联系在一起的。
章动就是一边绕铅直线进动一边上下“点头”。
在有章动的情况下，陀螺进动的角速度不是定值——随着章动，它进动地忽快忽慢。
甚至，还可以正着转转再反着转转。
不信？
上图中 a 对应的是最老实的进动的情况，一边周期性地点头一边本本分分地进动。
b 图就是看起来非常反科学的，正着转反着转交替的情况。
c 对应 critical 的情况，在章动的最高点（就是尖尖那个点），进动角速度为 0。
陀螺自转地越快，章动越小。
若考虑陀螺的自转动能远大于重力势能改变的最大值的情况（也就是转得特别特别快的陀螺，因此这一情况被称为“快陀螺”），章动会很快衰减掉（变成纯进动），而且陀螺旋转的姿态会逐渐趋近于直立。因此，快陀螺特别稳定。
玩抽陀螺时，当陀螺旋转开始不稳，只要顺着旋转方向抽一鞭子，它转速大增，同时可能会偏离竖直姿态，但转着转着就能转回来，而且比之前更加稳定。
这⼀现象也可以解释⾼速旋转的⼦弹总是自发选择逆着空⽓阻⼒的⽅向飞⾏。
2.倒摆
单摆是我们都很熟悉的东西，从伽利略时代就被玩烂了。
真的吗？你确定你真的熟悉单摆吗？
如果我告诉你单摆还可以倒立在顶上摆，你信吗？
当然，一个平凡的单摆是没法做到倒立的。倒摆发生的条件是——摆的悬点不固定点，而是在平衡位置附近做小幅高频的微振动（当然，还要求连接摆球的是一根硬杆而非软绳）。
看起来非常玄学，但这是真的。
简单地说，悬点振动，相当于使整个单摆处在一个非惯性参考系中。因此摆球受到一个周期性的惯性力。为这个惯性力强行写出一个（交变的）等效势，经过一些的计算可以发现，在满足某些特定条件时，有这样一个倒立摆的稳定解。
这个计算比较复杂，有兴趣的读者可以参阅朗道力学。
来点干货：
如上所述的，单摆悬点微振动对单摆运动的影响，可以归结为参数共振问题：
具体地，对于悬点以固定频率 振动的单摆，
上图中，蓝线对应 的情况，可以发现，单摆的运动逐渐爆炸了。
黄线和绿线对应 的情况，此时悬点的振动基本可以被称为“高频”了。
黄线对应的是正常的单摆运动，也就是在底下的振动。
绿线对应的是倒摆，也就是在顶上的振动。
3.傅科摆
（我发现我能想到的经典力学中比较反直觉的现象好像大多都出在旋转与角动量这里.....）.
本来之前就想讲讲傅科摆。 @ChopinJan 的答案中已经提到了。姑且还是简单说说吧。
单摆的又一个奇妙产物。
傅科摆其实就是一个摆长很长的正常单摆而已。
傅科摆的运动可以描述为：一边摆动，一边转圈。
画出来基本是这样的：
它会转圈的原因，是因为——它在地球上。
地球不是一个惯性系。
地球是一个转动参考系。在转动参考系下，可以引入一项科里奥利力（惯性力的一项）： 其中，
是参考系旋转的角速度，u 是物体在旋转系中的速度。
直观地，由于地球的自转，物体在地球上运动时会受到一个和运动方向垂直的等效力。北半球这个力向右，南半球这个力向左。也就是高中地理里学过的地转偏向力。
由于科里奥利力的存在，上抛运动的物体其实并不会严格落在起抛点，而会稍微偏一点。
只不过，由于这个力非常弱，大多数情况下都可以忽略不计。
而单摆在运动的时候，这个效应则一直累计，因此，久而久之是能看出科里奥利力的影响的。
这一影响就表现为：一边摆一边转圈。
用傅科摆可以证明地球在自转。还可以算出地球自转的角速度。
事实上，楼下某个答案说的一点不错：
直不直观，主要取决于你的功底。
上面说的基本上是和日常生活比较近的有趣现象，对于没学过力学的童鞋们来说，这些现象是不是至少有一点反直觉呢？
还有很多奇怪的东西，基本上非科班出身的学生是遇不到的。
下面说两个我学分析力学时感觉最玄妙最震撼的结论吧：
1.诺特定理（Noether Theorem)：
系统的一个可微变换不变性（连续对称性），必对应一个守恒量（运动积分）。
当物理学家费尽千辛万苦爬上山顶时，才发现数学家已经在那里等候多时了。
搞物理的人辛辛苦苦寻找守恒量啊（想想拉普拉斯 - 龙格 - 楞次矢量吧），数学家大笔一挥：
对称性对应守恒量，一个不多一个不少。
熟悉了这个结论，你会觉得这是世界最接近本质、最符合直观的性质。
但在第一次学的时候，简直是。
2.有心力问题的稳定解：
有心力，就是能写成这种形式的力
比如说，万有引力，就是典型的有心力。这个问题开普勒就研究过，椭圆轨道嘛。
再比如说，谐振子（质点连在弹簧上），也是典型的二体有心力。我们也能求出一个稳定的轨迹。
然后呢？
然后我们惊讶地发现，除了这两种情况，其它的二体有心力问题我们都解不出来了。
不是因为我们太辣鸡，而是，它就不存在一个稳定的解啊！
比如说，把万有引力中的平方反比稍微改动一点，变成 1.99 次方反比，轨道就 TM 变成这样了！
这不是坑爹吗？
伯特兰定理（Bertrand Theorem）告诉我们：
有心力场下质点运动形成稳定闭合轨道的充要条件是： 或
前者就是开普勒问题，后者就是谐振子问题。除此之外，其他情况全都没有稳定闭合轨道。
这一结果的深层次原因还是对称性问题。这两种力场具有比普通的三维旋转 SO(3)更高的对称性——分别对应 SO(4)对称和 SU(3)对称。
由刚才的诺特定理，对于这两种情况我们可以分别多写出一个守恒量（除能量、动量、角动量守恒以外）。感兴趣的同学可以自己去查一查（因为我实在是懒得写了）。
顺便提一句，感兴趣的同学可以自行查一查牛顿转轨道定理。然后你就会发现有理数是一个很美妙的东西。