「非理性」与 Money Pump

经济学家喜欢“理性”而不喜欢“非理性”，并不是没有理由的，Money Pump（直译过来是“金钱泵”，意译一下叫“人傻钱多速来”）这种奇怪的现象就是其中之一。

Money Pump 最经典的例子就是一个偏好不满足传递性的人：比方说，有个人喜欢苹果胜过橘子，喜欢橘子胜过西瓜，喜欢西瓜又胜过苹果，那么他的偏好就不满足传递性——苹果胜过橘子，橘子胜过西瓜，那么苹果应该胜过西瓜才对。

具体来说，如果这个人对这三种水果的喜好程度满足这样的条件：苹果>（橘子 +1 元），橘子>（西瓜 +1 元），西瓜>（苹果 +1 元），再不妨假设一开始他有 100 元钱和一个橘子，那么我们可以采取如下的方式把他的 100 元钱都“泵”出来：

（1）提议进行交易“一个苹果换一个橘子 +1 元”；

（2）提议进行交易“一个西瓜换一个苹果 +1 元”；

（3）提议进行交易“一个橘子换一个西瓜 +1 元”；

（4）不断重复（1）~（3）

在这个过程中，每次交易对他来说都是合算的，但是每经过一轮（1）~（3），他手头仍然是一个橘子，但是钱却少了 3 元。

由于这种现象实在太过违背常理，因此经济学家要求，理性人的决策过程应当满足传递性（这是 Order Axiom 的一部分），反之，如果我们发现有人在决策过程中出现了违背传递性的现象，就可以说这个人是“非理性”的了。

这种“非理性”的人是否存在呢？Graham Loomes，Chris Starmer 和 Robert Sugden 设计了如下的实验：他们准备了三种不同的“彩票”，第一种是固定的 5 美元（称为"sure bet"），第二种是有 0.4 的概率拿 10 美元，0.6 的概率拿 3 美元（称为“$-bet”，读作“dollar bet”，有正概率拿到一个很大的收益），第三种是有 0.7 的概率拿 7.5 美元，0.3 的概率拿 1 美元（称为“p-bet”，有很大概率拿到一个正收益）。实验的参与者当中，有 51% 的人在 p-bet 和 $-bet 中选择 p-bet，有 88% 的人在 sure bet 和 p-bet 中选择 sure bet，有 70% 的人在 $-bet 和 sure bet 中选择 $-bet，这在总体上违背了传递性；在个体层面上，也有大约 30% 的参与者的选择违背了传递性。

在跨期决策中，Money Pump 同样也会出现，这次出现的原因是时间不一致性（Time Inconsistency）。

大家应该都听说过这样一个小实验：如果让一个人在今天拿到 100 元和明天拿到 101 元之间进行选择，他往往会选择今天拿到 100 元；但是如果让他选择在一年后拿到 100 元和一年后加一天拿到 101 元之间进行选择，他往往又会选择多等一天拿 101 元。这就违背了时间一致性，因为等到一年之后，这个人面临的选择就是“今天拿到 100 元”和“明天拿到 101 元”，这时他的选择就和一年前相悖了。

一个简单的解释就是，人们具有 present bias，换言之，就是认为今天特别重要，明天相比于今天的重要性（折现）比后天相对于明天的重要性要低得多。为了保证上述选择不相悖，这个重要性的递减程度对于没有 preset bias 的人来说应该是每天相同的，这种折现方式称为“exponential discounting”，因为它可以写成“”或者“”这样的指数（exponential）形式；而具有 present bias 的人，重要性在今天与明天之间有一个巨大的落差，之后逐渐恢复正常，这种折现方式称为“hyperbolic discounting”，因为它的一般形式是 ，这个函数表示的图象是一条双曲线（hyperbola）。

Hyperbolic discounting 的一般形式比较复杂，我们通常采用一个简化版本：明天的重要性是今天的  倍，之后每天的重要性都是前一天的  倍，并且满足 。这个替代品可以提供计算上的便利，而且通常不会影响到我们试图从模型中获取的结论。

即使在具有 present bias 的人当中，还可以进一步分为两种：一种我们称为 Naive，这种人并没有意识到自己有 present bias，因此他们在每天做计划的时候都觉得明天自己一定会按照计划实行，然而事实上第二天他们又会重新进行计划；另一种我们称为 Sophisticated，这种人意识到自己有 present bias，也知道今天做的计划到了明天会重新进行规划，因此他们会先站在未来自己的角度上思考问题，然后反推今天应该如何制定计划。我们还可以进一步定义介于两者之间的 Partial Naif，这类人对明天的折现实际上是 ，但却“以为”自己对明天的折现是 （这个“以为”体现在他以 Sophisticated 的方式站在未来自己的角度思考问题的时候），当  时等价于 Sophisticated，当  时等价于 Naive。

举个例子：吃冰激淋很爽，但是一口气吃太多冰激淋会拉肚子；假如现在可以选择是买小盒的冰激淋还是买大盒的冰激淋（小盒分量的 2 倍，但比买 2 个小盒便宜）：一个没有 present bias 的人（方便起见，以后简称 E 同学）会买大盒，同时按照计划一天吃一份；一个 Naive 的人（N 同学）会买大盒，制定计划打算一天吃一份，但是实际上买回去之后就把两份都吃了（因为他更注重当下），结果第二天就拉肚子了；而一个 Sophisticated 的人（S 同学）将会意识到，如果买了大盒，自己回去之后一定会把两份都吃了然后拉肚子，因此他索性选择买小盒。

现在说回 Money Pump，先提个小问题：在这三类人当中，哪一类会成为 Money Pump？

答案是 S 同学，因为 E 同学没有时间不一致性，将会遵循自己的计划行动，N 同学虽然有时间不一致性，但是每一期他都“觉得”自己做的是最好的并且以为未来都会按照计划进行。只有 S 同学意识到未来的自己不会遵循自己的计划，因此愿意付出一定的代价来纠正未来的自己的行为。

假如 S 同学决定去健身房健身；如果他决定今天去，需要付出一个费用 C，但是从明天开始的每一天他都能从今天的锻炼中获得一个收益 V，持续到永远；当 、、C、V 满足一定条件时，会出现这样的情况：S 同学会发现今天去健身房不划算，因为他非常看重今天，而今天要付钱，明天才开始获得收益，折合下来的总收益是负的；但是，如果明天去健身房，那么是划得来的，因为对于明天的行动他没有 present bias，折合下来的总收益是正的。

但是我们知道，如果他今天不去，那么明天他也不会去——因为原本的“明天”变成了“今天”了，他又会告诉自己，今天去健身房不划算，明天去吧；事实上，N 同学就是这么想的，而且他还错误地认为从明天开始每一天都会去健身房，尽管最终他一天都不会去。

S 同学意识到自己一天都不会去健身房，于是他打算扭转这个局面。这时候，健身房提出了这么一项服务：如果你花 K1 的钱购买这项服务，那么从明天开始，如果你有一天不来健身，健身房会对你进行罚款，罚款的额度 K2 充分大以致于你一定会选择去健身房。S 同学将会购买这项服务，因为从今天的角度看，从明天开始每一天都去健身的总收益是正的，只要 K1 小于这个总收益，他就能够从这个服务中获益。

紧接着，“明天”到了。尽管“明天”——现在是今天——去健身房的总收益是负的，但是由于这个负的收益比不去健身房的罚款 K2 相比要来得小，S 同学将会选择去健身房。在健身房门前，S 同学碰到了一个非常有商业头脑的朋友，B 同学。B 同学平时也去健身房，他对 S 同学提出，如果 S 同学付给他一个费用 K3，他可以每天替 S 同学去健身房报到，这样 S 同学就可以不去健身房，同时也不需要担心罚款 K2 的问题。如果 K3 选取得合适的话，S 同学将会欣然接受这个提议，付钱给 B 同学，然后再也不去健身房。

我们尝试代入一下具体数字，不感兴趣的同学可以跳过这一部分。

令，，，，，， 

今天去健身房的总收益：

明天去健身房的总收益：

如果不购买服务，永远不会去健身房，总收益是 0；如果购买服务，今天付出 ，之后每一天由于，都会去健身房，因此购买服务之后的总收益是：

于是 S 同学购买了服务。

到了第二天，按照计划去健身房的总收益是

于是 S 同学向 B 同学付钱让他代替去健身房报到。

绕了一圈，S 同学付了两笔钱，最后还是没有去健身房。理论上，这个过程可以继续持续下去：健身房可以再提供一个价格为 K4 的“如果被发现有人替你来报到就罚款 K5”的服务，然后 B 同学可以再提供一个价格为 K6 的“帮你每天消掉 K5 这项罚款”的服务，依此类推；只需适当选择 K4、K5、K6 等等，S 同学将会购买每一项服务，而且最终还是不会去健身房，这就构成了一个 Money Pump。

最后，提供一个拓展阅读资料：

Money pumping: the axiomatic approach

以及本文的例子分别来自 David.R.Just "Introduction to Behavioral Economics"第 9 章与第 13 章，后一个健身房的例子有改写（原文中是每天付费）。

(Photo Credit: Photo via niekverlaan via Visual hunt)