「非理性」与 Money Pump

经济学家喜欢“理性”而不喜欢“非理性”，并不是没有理由的，Money Pump（直译过来是“金钱泵”，意译一下叫“人傻钱多速来”）这种奇怪的现象就是其中之一。

Money Pump 最经典的例子就是一个偏好不满足传递性的人：比方说，有个人喜欢苹果胜过橘子，喜欢橘子胜过西瓜，喜欢西瓜又胜过苹果，那么他的偏好就不满足传递性——苹果胜过橘子，橘子胜过西瓜，那么苹果应该胜过西瓜才对。

具体来说，如果这个人对这三种水果的喜好程度满足这样的条件：苹果>（橘子 +1 元），橘子>（西瓜 +1 元），西瓜>（苹果 +1 元），再不妨假设一开始他有 100 元钱和一个橘子，那么我们可以采取如下的方式把他的 100 元钱都“泵”出来：

（1）提议进行交易“一个苹果换一个橘子 +1 元”；

（2）提议进行交易“一个西瓜换一个苹果 +1 元”；

（3）提议进行交易“一个橘子换一个西瓜 +1 元”；

（4）不断重复（1）~（3）

在这个过程中，每次交易对他来说都是合算的，但是每经过一轮（1）~（3），他手头仍然是一个橘子，但是钱却少了 3 元。

由于这种现象实在太过违背常理，因此经济学家要求，理性人的决策过程应当满足传递性（这是 Order Axiom 的一部分），反之，如果我们发现有人在决策过程中出现了违背传递性的现象，就可以说这个人是“非理性”的了。

这种“非理性”的人是否存在呢？Graham Loomes，Chris Starmer 和 Robert Sugden 设计了如下的实验：他们准备了三种不同的“彩票”，第一种是固定的 5 美元（称为"sure bet"），第二种是有 0.4 的概率拿 10 美元，0.6 的概率拿 3 美元（称为“$-bet”，读作“dollar bet”，有正概率拿到一个很大的收益），第三种是有 0.7 的概率拿 7.5 美元，0.3 的概率拿 1 美元（称为“p-bet”，有很大概率拿到一个正收益）。实验的参与者当中，有 51% 的人在 p-bet 和 $-bet 中选择 p-bet，有 88% 的人在 sure bet 和 p-bet 中选择 sure bet，有 70% 的人在 $-bet 和 sure bet 中选择 $-bet，这在总体上违背了传递性；在个体层面上，也有大约 30% 的参与者的选择违背了传递性。

在跨期决策中，Money Pump 同样也会出现，这次出现的原因是时间不一致性（Time Inconsistency）。

大家应该都听说过这样一个小实验：如果让一个人在今天拿到 100 元和明天拿到 101 元之间进行选择，他往往会选择今天拿到 100 元；但是如果让他选择在一年后拿到 100 元和一年后加一天拿到 101 元之间进行选择，他往往又会选择多等一天拿 101 元。这就违背了时间一致性，因为等到一年之后，这个人面临的选择就是“今天拿到 100 元”和“明天拿到 101 元”，这时他的选择就和一年前相悖了。

一个简单的解释就是，人们具有 present bias，换言之，就是认为今天特别重要，明天相比于今天的重要性（折现）比后天相对于明天的重要性要低得多。为了保证上述选择不相悖，这个重要性的递减程度对于没有 preset bias 的人来说应该是每天相同的，这种折现方式称为“exponential discounting”，因为它可以写成“Image may be NSFW.
Clik here to view.”或者“Image may be NSFW.
Clik here to view.”这样的指数（exponential）形式；而具有 present bias 的人，重要性在今天与明天之间有一个巨大的落差，之后逐渐恢复正常，这种折现方式称为“hyperbolic discounting”，因为它的一般形式是 Image may be NSFW.
Clik here to view.，这个函数表示的图象是一条双曲线（hyperbola）。

Hyperbolic discounting 的一般形式比较复杂，我们通常采用一个简化版本：明天的重要性是今天的 Image may be NSFW.
Clik here to view. 倍，之后每天的重要性都是前一天的 Image may be NSFW.
Clik here to view. 倍，并且满足 Image may be NSFW.
Clik here to view.。这个替代品可以提供计算上的便利，而且通常不会影响到我们试图从模型中获取的结论。

即使在具有 present bias 的人当中，还可以进一步分为两种：一种我们称为 Naive，这种人并没有意识到自己有 present bias，因此他们在每天做计划的时候都觉得明天自己一定会按照计划实行，然而事实上第二天他们又会重新进行计划；另一种我们称为 Sophisticated，这种人意识到自己有 present bias，也知道今天做的计划到了明天会重新进行规划，因此他们会先站在未来自己的角度上思考问题，然后反推今天应该如何制定计划。我们还可以进一步定义介于两者之间的 Partial Naif，这类人对明天的折现实际上是 Image may be NSFW.
Clik here to view.，但却“以为”自己对明天的折现是 Image may be NSFW.
Clik here to view.（这个“以为”体现在他以 Sophisticated 的方式站在未来自己的角度思考问题的时候），当 Image may be NSFW.
Clik here to view. 时等价于 Sophisticated，当 Image may be NSFW.
Clik here to view. 时等价于 Naive。

举个例子：吃冰激淋很爽，但是一口气吃太多冰激淋会拉肚子；假如现在可以选择是买小盒的冰激淋还是买大盒的冰激淋（小盒分量的 2 倍，但比买 2 个小盒便宜）：一个没有 present bias 的人（方便起见，以后简称 E 同学）会买大盒，同时按照计划一天吃一份；一个 Naive 的人（N 同学）会买大盒，制定计划打算一天吃一份，但是实际上买回去之后就把两份都吃了（因为他更注重当下），结果第二天就拉肚子了；而一个 Sophisticated 的人（S 同学）将会意识到，如果买了大盒，自己回去之后一定会把两份都吃了然后拉肚子，因此他索性选择买小盒。

现在说回 Money Pump，先提个小问题：在这三类人当中，哪一类会成为 Money Pump？

答案是 S 同学，因为 E 同学没有时间不一致性，将会遵循自己的计划行动，N 同学虽然有时间不一致性，但是每一期他都“觉得”自己做的是最好的并且以为未来都会按照计划进行。只有 S 同学意识到未来的自己不会遵循自己的计划，因此愿意付出一定的代价来纠正未来的自己的行为。

假如 S 同学决定去健身房健身；如果他决定今天去，需要付出一个费用 C，但是从明天开始的每一天他都能从今天的锻炼中获得一个收益 V，持续到永远；当 Image may be NSFW.
Clik here to view.、Image may be NSFW.
Clik here to view.、C、V 满足一定条件时，会出现这样的情况：S 同学会发现今天去健身房不划算，因为他非常看重今天，而今天要付钱，明天才开始获得收益，折合下来的总收益是负的；但是，如果明天去健身房，那么是划得来的，因为对于明天的行动他没有 present bias，折合下来的总收益是正的。

但是我们知道，如果他今天不去，那么明天他也不会去——因为原本的“明天”变成了“今天”了，他又会告诉自己，今天去健身房不划算，明天去吧；事实上，N 同学就是这么想的，而且他还错误地认为从明天开始每一天都会去健身房，尽管最终他一天都不会去。

S 同学意识到自己一天都不会去健身房，于是他打算扭转这个局面。这时候，健身房提出了这么一项服务：如果你花 K1 的钱购买这项服务，那么从明天开始，如果你有一天不来健身，健身房会对你进行罚款，罚款的额度 K2 充分大以致于你一定会选择去健身房。S 同学将会购买这项服务，因为从今天的角度看，从明天开始每一天都去健身的总收益是正的，只要 K1 小于这个总收益，他就能够从这个服务中获益。

紧接着，“明天”到了。尽管“明天”——现在是今天——去健身房的总收益是负的，但是由于这个负的收益比不去健身房的罚款 K2 相比要来得小，S 同学将会选择去健身房。在健身房门前，S 同学碰到了一个非常有商业头脑的朋友，B 同学。B 同学平时也去健身房，他对 S 同学提出，如果 S 同学付给他一个费用 K3，他可以每天替 S 同学去健身房报到，这样 S 同学就可以不去健身房，同时也不需要担心罚款 K2 的问题。如果 K3 选取得合适的话，S 同学将会欣然接受这个提议，付钱给 B 同学，然后再也不去健身房。

我们尝试代入一下具体数字，不感兴趣的同学可以跳过这一部分。

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今天去健身房的总收益：

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明天去健身房的总收益：

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如果不购买服务，永远不会去健身房，总收益是 0；如果购买服务，今天付出 Image may be NSFW.
Clik here to view.，之后每一天由于Image may be NSFW.
Clik here to view.，都会去健身房，因此购买服务之后的总收益是：

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于是 S 同学购买了服务。

到了第二天，按照计划去健身房的总收益是

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于是 S 同学向 B 同学付钱让他代替去健身房报到。

绕了一圈，S 同学付了两笔钱，最后还是没有去健身房。理论上，这个过程可以继续持续下去：健身房可以再提供一个价格为 K4 的“如果被发现有人替你来报到就罚款 K5”的服务，然后 B 同学可以再提供一个价格为 K6 的“帮你每天消掉 K5 这项罚款”的服务，依此类推；只需适当选择 K4、K5、K6 等等，S 同学将会购买每一项服务，而且最终还是不会去健身房，这就构成了一个 Money Pump。

最后，提供一个拓展阅读资料：

Money pumping: the axiomatic approach

以及本文的例子分别来自 David.R.Just "Introduction to Behavioral Economics"第 9 章与第 13 章，后一个健身房的例子有改写（原文中是每天付费）。

(Photo Credit: Photo via niekverlaan via Visual hunt)