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题主对生活中的小现象作出了非常有趣的观察，也得到了比较正确的结论。
事实上，对于类似于题主照片中的那样的（准）二维的泡泡堆积结构，有一个确定的结论，即这些泡泡的平均边数是 6
这是一个由泡沫堆积结构的几何性质，加上欧拉公式所给出的结论，证明如下。
对于任一三维空间中的凸多面体，该多面体有 F 个面（face），E 条边（edge）以及 V 个顶点（vertices），那么有欧拉公式：成立。
比如正四面体，；立方体，
等等均满足此式。
欧拉公式的证明可参见：
Euler's Formula 提供了二十种不同的证明
以及：The Geometry of the Sphere 6给出了一种较为直观的证明
对于任意一个二维平面的网络，也可以同样定义面数 F，边数 E，以及顶点数 V，此时欧拉公式写作
推导如下：（由下文可知，该式等号右边具体的数值其实并不影响结论，没有兴趣的读者可略过以下证明）
此式可直接由对于凸多面体的欧拉公式导出。对于一个非常大（但有限）的二维平面网络，我们可以想像把这个网络覆盖包裹在一个球面上，这样，这个网络在球面上形成了一个大多面体，同时其边界在球面上形成了一个新的“面”。对于大多面体，欧拉公式
，而二维网络与该大多面体相比，边数
，顶点数
都相同，只是少了一个由最外层边界所形成的面。由此得到二维平面网络的欧拉公式。q.e.d
由此出发，我们可以继续推导二维泡沫结构的平均边数。
对于如图的二维泡沫结构，显然每一条边是被 2 个“面”所共用的，而每一个顶点被 3 个“面”共用。所以设平均每个面有 条边以及
个顶点
那么有： 将此式代入（二维平面上的）欧拉公式，则有：
解得：
（因为 很大，所以
可以忽略）
事实上实验发现，对于这种二维的泡沫堆积结构，其边数 n 的分布正是一个峰值 n=6 的分布，如图（红线）：
图片引自：The physics of foam.ppt Simon Cox, The University of Wales
到这里便回答了题主的问题，也修正了题主的观察，即（准二维的）泡沫大多数 5、6、7 边形的。
补充：
一.
在评论中有知友提到该问题的关键在于“为什么顶点总是被三个泡泡共用”。
在 @Haoxing 的回答中提到了 Plateau's Law
Plateau's laws
以及相应的证明，即这种结构是要求表面积最小的必然结果。
我试图在这里给出一个形象化的、比较物理的理解。
考虑一个顶点由四个泡泡共用，如下图的中图所示：
图片引自：The physics of foam.ppt Simon Cox, The University of Wales
从几何的角度而言，左图和右图的结构虽然较之中图多了一条边，但总的表面积（线段长度总和）还是减少了。（可证明）
从力学角度而言，中图那样的结构是二阶不稳定的，即微小的扰动便会让体系偏离该状态，而左右两图的结构是二阶稳定的。
二.
事实上对于任意一个二维点阵（如下图中的方块点）：
都可以进行所谓 voronoi 分块（即上图通过实线分出的各个区域）
Voronoi diagram
对于这样一个网络图形，上文提到的结论
同样成立。所以该结论源自几何约束，只和分块的方式（即每个点都连接三条边）以及网络所在的空间（即二维平面）有关，（准二维）泡沫只是其中的一个真实世界中的特例。
蜂巢是另一个更有名的真实例子，每个“面”都是六边形的，
显然成立。
三.
本问题另一个回答中提到 D.Weaire 教授在 The physics of foams 一书中提到“36% 的临界含水量，大于该含水量则体系成为液态的泡泡流，低于该含水量泡泡成为多面体”
（放假赋闲在家，没法去学校看这本书的原话，只能说说我的猜测）
对于单一大小的光滑球体的空间随机堆积问题，有一临界的堆积状态，被称作 random close packing，该堆积的密度在实验上被认为是 64%左右。（注意刚好是 100%-36%！！）
请参见
Random close pack
小于这个堆积密度，对泡沫而言即含水量高于 36%，泡泡不互相接触挤压；大于该堆积密度（含水量低于 36％）时，泡沫互相积压，其形状从球形逐渐变为多面体。题主照片中的泡沫的含水量接近于 0，所以每个泡泡其实都是被“严重”积压为多面体的球形。
强调一点，以上说法只适用于三维空间中单一大小的球体的堆积问题，不应照搬到本回答主要讨论的二维问题中。
四.
关于泡沫的科学研究从属于软物质科学，属于凝聚态物理中的软凝聚态物理，其背后的科学问题要比咖啡杯、肥皂泡、蜂巢等等深刻的多。
简而言之，泡沫与堆积问题（纯数学领域）、优化算法（计算机领域）、结构力学（力学）、化学、玻璃化转变（凝聚态物理）、阻塞相变（复杂性科学）等科学问题都有直接或间接的联系，这里不展开了。