日报标题：水是生命，卫生是尊严，那这水费，该怎么收才合理？
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Manolo，经济学 / 历史学爱好者
这是辍耕录第 60 篇文章。很高兴和大家分享学习经济学中一些心得和笔记，这篇专栏特别介绍一篇自己很喜欢的文章，The Value of Free Water: Analyzing South Africa's Free Basic Water Policy，来自女经济学家 Szabó。可能文章比较长，中间有几段还有数学和计量，但还是建议读完。如果有时间精力，强烈建议阅读原文，包括正文、补充材料和附录。从中可以完整了解到经济学家是怎么着手解决实际问题，又是怎么提政策建议的。这些努力最后体现到公开讲话或者文件里可能就一两句话，论据接着就是建议，但我们应该了解背后的努力和过程。
茨瓦内，南非。小楼棚屋错杂。修剪齐整的草坪，隔不远就是菜地。这里居民大部分肤色都深，大太阳下汗水淌成河。天热，富裕人家有浴缸，汗水沁湿了，往里一跳。一般人家没有这种货色，用莲蓬头冲洗也得省着水。一个月只有六方，用完就得掏钱买。再穷的人没有这个烦恼——压根没有什么浴缸和淋浴。拢共六万户，有六七千连厕所都没有，得共用，或自己解决。水啊，真贵！一个月那么点，有一二成都流进了水管里。走啊走，到当地水卫生管理局，墙上写：“水是生命，卫生是尊严。”生存要花钱，尊严需要更多的钱。
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对抗贫困是经济学重要主题之一。发展中国家，第一要吃饱，并列第一要有干净的水。不干净的水传播疾病，孩子喝了难受。政府给通上干净自来水，女人和孩子都能解放，能做其它活计，能多上学。问题是，水管和水不会自己长出来，得花很多钱才能通上，才能确保干净。谁出这个钱？政府一般掏大头，但供水公司总得收点。片区里还有草坪、浴缸和洗车店，哗啦啦淌水。怎么收？找谁收？Szabo 用南非茨瓦内区数据解决这一问题。她先估计居民用水需求函数，然后在保证供水公司情愿基础上，帮助设计最优阶梯水费。结果发现：低用水低收费、高用水高收费方案可能比免费送水办法更好。文章题目、方法、结论均有可取之处。
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茨瓦内在南非属贫困地区，辖区六万居民，12% 领救济，13% 没有马桶淋浴。政府此前改善基础设施，每家安装新式水表，读数准确难损坏。作者拿到 2002-2009 年间区内所有家庭每月水表读数，约 300 万条数据。她还得到区内 1000 户家庭随机抽样调查结果，可对应约 6 万条用水记录，概况见上图。平均年收入约 4700 美元。数据还包括家庭冲水厕所、水龙头、浴缸、淋浴、灌溉设施等用水设备数量及教育程度、子女数量、出外打工人数等家庭基本情况。当地家庭平均月用水量 13 方。作者排除了不清晰及所有 50 方以上用水数据，后者基本是商业用水。当地居民主要依赖自来水，从其它地方借水或买水比例不到 0.5%，频率也很低。
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当地水费制度复杂。2002-2007 年是按家里有无卫生设备分两种收法。2006、2007 年不仅按卫生设备，还按是否领救济区分，共四类。再加制度年年变化，前后共有 20 种水价，上图左部绘出一部分。前几年水价基本是先递增后递减。2008 年开始，水费征收按是否领救济分两部。符合条件者申领救济后还可享受用水优惠，前 6 方免费，第 6 方到 12 方价格低，再多和普通人收同样价格。作者指出，每次改革政府都会大力宣传，上电视、上报纸、发小册子，大部分家庭了解水费。上图右部逐年绘出家庭用水量分布。可见家庭对价格作出反应：价格上升，需求量下降。用水集中在 6 方附近，再多要花钱。12、18、24 这些转折点附近家庭数量也更多。
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上图详细展示 2007 年价格改革导致需求量变化。左侧显示调价方案：穷人前 6 方免费，相当于降价到 0；6-12 方还有大幅降价。右侧显示需求变化：用水量压倒 6 方以下家庭数量显著增加，用到 12 方或以上家庭更少，但幅度小一些。制定政策需要了解需求。传统研究多直接回归估计需求弹性，但面对如此复杂定价方案，简单回归行不通。即使只有两段价格，不妨假设用水多，单价高，此时用水量和价格本身正相关，回归高估价格弹性，用水多单价低则会相应低估。为解决这一问题，作者直接估计效用函数，再结合定价方案算出需求曲线。这一方法不仅能帮我们评估现行政策，还可预估如果改变定价，消费者需求和福利变化情况。
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这一段开始会有一点技术性的内容，我会把结论放到每段结尾。难点在分段定价时，消费者预算集常不具备凸性。用工具变量可以减少偏误，方法有二：一是 Olmstead（2009），用每一段价格和对应“虚拟收入”作工具变量。虚拟收入指假定消费者无论用多少水都按这一段价格收费，然后维持原有用水量，用原有收入加上水费这块变动的结果。记这一段水费从 Image may be NSFW.
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开始，收费标准Image may be NSFW.
Clik here to view.，原用水量 Image may be NSFW.
Clik here to view.，原收入 Image may be NSFW.
Clik here to view.，则虚拟收入 Image may be NSFW.
Clik here to view.。二是 McFadden 等（1997），用利用其它特征预测的消费者收入作工具变量。估计结果如上，差异很大。四列结果分别代表四组控制变量在最小二乘加两种工具变量共三种估计方法下结果。可见第四列结果最稳健，需求弹性整体在 -0.5 至 -0.6 之间，故作者以下沿用这组控制变量。
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不用工具变量，问题更棘手。消费者面临优化问题见上图，其中 Image may be NSFW.
Clik here to view. 代表水费变化分界点，他 / 她要在定价很复杂时求最优，下面就是对应图解。预算约束线是一组歪歪扭扭折线，无差异曲线可能自己也很困惑该和预算约束在哪碰面。这类没法求导的最优问题可以分三步求：首先是算每个分界点上消费者效用。接着，把每段预算约束线延长与横轴纵轴相交。此时我们等于在假想消费者收入从 Image may be NSFW.
Clik here to view. 变成 Image may be NSFW.
Clik here to view.，然后再求最优。这就是上一段提到“虚拟收入”的含义。如果算出来最优是原价格区间内点，留下，否则扔掉。如果一共有 Image may be NSFW.
Clik here to view. 个分界点，那至多还有 Image may be NSFW.
Clik here to view. 个内点。最后比较这 Image may be NSFW.
Clik here to view. 个选择，选效用最大的就好。
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要评估政策，还要算政策变化效果，估计效用函数和需求函数在所难免。虽然有一些绕道办法，但面对复杂定价还是只能硬上。上图中第一行是待估效用函数，其中 Image may be NSFW.
Clik here to view. 是用水量，Image may be NSFW.
Clik here to view. 是其它商品，Image may be NSFW.
Clik here to view. 是天气、教育等控制变量，由工具变量估计结果选定，Image may be NSFW.
Clik here to view. 是 Image may be NSFW.
Clik here to view. 的系数。Image may be NSFW.
Clik here to view. 和 Image may be NSFW.
Clik here to view. 都是参数，要估计，Image may be NSFW.
Clik here to view. 是消费者异质性。这一函数优点在能表达相当丰富消费者行为，同时间接效用函数和用水量都有简单表达形式。水需求函数在第三行，可以看到 Image may be NSFW.
Clik here to view. 和 Image may be NSFW.
Clik here to view. 分别是价格和收入系数。最后，由于数据中确实观察到部分消费者在超出低价区间一点点地方消费，可能现实中他们没法完美控制用水量，交了冤枉钱，故作者在需求上加了冲击项。
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这些工作还不够。引入异质性 Image may be NSFW.
Clik here to view. 后，如果还想用前面的求分界点效用、求内点效用再比较的方法，必须把需求函数写成 Image may be NSFW.
Clik here to view. 的表达式。如果用水分三段收费，最后结果如上图所示。作者在附录中通过计算证明上式给出了性质良好的需求函数。当收费方案更复杂，分六七段或价格不单调，先升后降或先降后升时，形式会更复杂。需求不唯一是另一大麻烦。因水费在当地家庭收入中占 2-20%，不是小数目，收入效应不能忽略。为简单起见，作者用截尾正态作 Image may be NSFW.
Clik here to view. 分布。冲击项 Image may be NSFW.
Clik here to view. 和正态分布本身在个体间独立同分布，但截尾点 Image may be NSFW.
Clik here to view. 随消费者不同而不同。在此前提下可导出连续似然函数。尽管不一定处处可微，但 Manski(1988)确保了估计量一致。
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因似然函数有许多断点，作者用 Nelder-Mead 方法求最大，再借助多种方法确保这是全局最大值。具体细节繁琐，请见原文附录。估计效用函数后即可算出需求弹性，结果如上图上图所示。整体在 -1 左右，说明价格每上升 1%，用水量平均下降 1%。有卫生设施家庭弹性更大，可能他们有更多用水设备，能用更灵活方法控制用水开销。有浴缸家庭弹性更小，可能这部分是当地较富裕部分，用水开支占总收入很小，不敏感。从收入本身和是否领救济两个层面看，穷人对水费都更敏感。弹性本身变化很复杂，没有明显的随价格递增或递减趋势。作者只用一半样本估计，另一半样本用估得参数预测，结果见上图下部，相当准确。
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有了消费者特征，有了效应函数，作者已经掌握了当地自来水市场需求状况，接下来就是政策评估和建议，这里主要是设计最优定价方案。新方案要满足以下几个条件：消费者整体受益；自来水厂情愿；不能太复杂。第一点作者用功利主义社会效用，按等权重将所有消费者效用相加，即上图上部中效用函数。第二点作者用以下两点约束，一是用水量不会增加太多，不需新建设施；二是利润不比之前少。第二点保证水厂有激励，第一点保证新方案容易落实。如果需要新建，无法预料成本太多，同时也避免了估计厂商边际成本的麻烦。最后，作者只考虑了沿用原有分界点（每 6 方）且递增的定价方案，否则优化太复杂，计算机算力不足。
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万事俱备，只欠模拟。上图上部展示 2008、2009 年实际与最优定价方案。实际定价中领补助者前 6 方免费，6-12 方享受低价，随后价格陡然上升，和其他人价格持平。上图上左测展示不作区分时最佳定价，上右侧展示为穷人保留 6 方免费水时最优定价，下部展示两类分开定价时最优方案。新方案价格上涨更平滑，大家不再因怕超支而压制需求，最后反而压低社会福利。如果要单独照顾穷人，把前 6 方水价格定得很低，然后再缓缓上升效果更好。下图用前面提到整个模型照顾到水厂利益前提下，不同方案对不同群体造成福利变化。最佳是上图左上，此时两类人用水量都增加 13%，整体福利增加 12%。保留 6 方免费水的方案福利增加少些，约 7%。
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文章到此结束。最后捋一遍文章：首先是提出重要问题，发展中国家用水，和许多重要议题相关。其次是联系政府，拿数据，了解情况。然后建立模型，反映现实同时避开难点，灵活运用方法，成功在复杂非线性定价方案下估计。最后在照顾利益相关者前提下提出政策建议。新方案中没有免费水，但整体价格下降，价格上涨更平滑。最终总用水量和社会福利都上升。文章本身结论可作讨论，但过程很精彩，其他人容易跟进。比方说如果更在意公平，可以保留模型，改社会福利函数，再提政策。篇幅所限，很多细节没有介绍，强烈建议阅读原文和附录。这篇文章，连同另一篇量化大吃小 - 辍耕录 - 知乎专栏，都是自己最爱的实证论文之一。
参考文献：
Szabó A. The Value of Free Water: Analyzing South Africa's Free Basic Water Policy[J]. Econometrica, 2015, 83(5): 1913-1961.
Szabó, A. (2015): “Supplement to ‘The Value of FreeWater: Analyzing South Africa’s Free Basic Water Policy’,” Econometrica Supplemental Material.