匡世珉，和人类的感情破裂
我几年前也遇到过与题主同样的问题，当时查了些资料算是大体明白了。
首先我们来明确几个概念：
1.势（cardinality）
简单说来，一个集合的势，就是这个集合里元素的个数。比如“6 的约数”构成的集合的势就是 4。
元素个数相等的两个集合等势。
如何判断两个集合等势呢？只需要看这两个集合之间能否建立起元素的一一对应关系。
举一个有违常识的例子：全体正整数的集合与全体正偶数的集合等势。换句话说，正整数与正偶数一样多。
为什么呢？因为每一个正整数 n，都对应了一个正偶数 2n，没有重复没有遗漏。注意，“部分小于整体”是对于有限集合而言的。
2.可数无穷的（countable infinite）与不可数无穷的（uncountable infinite）
一种定义是：可数无穷集是可以与正整数集合建立起一一对应关系的无穷集合。
用 wikipedia 上的话来进一步解释：故而可以将可数无穷集的元素排队，从第一个数起，必有唯一后继者可以数，每个都可以数到而不会遗漏——当然，永远也数不完。
接下来有一个命题：全体正整数的集合和全体实数的集合不等势。
也就是说，实数是不可数的。再换句话说，你永远不可能按照某种顺序一个个地将实数进行排队，使得任意实数都被排到。实际上，0 到 1 之间的实数已经不可数了。
德国数学家乔治·康托尔（Georg Cantor）用对角论证法证明了这个结论，请看这里。
顺便多说一句，与全体实数等势的集合叫连续统（continuum）。
好的，我们接下来看这样一个问题：什么是长度？
为了更好地解释长度，我们引入一个新的概念：测度（measure）。长度是一维测度，面积、体积自然就是二维、三维测度。
那什么是测度呢？慢着，我们先来想想我们为什么需要“测度”。显然，我们希望直线上的任何一个子集的测度都应该是一个具体数值，也就是“有一个长度”。但是这必须要有一些限制条件，毕竟不能“说它多长就多长”。限制条件如下：
1.空集（不是单点集）本身是直线的子集，也应该有一个测度。我们应该保证空集的测度是 0，对吧？
2.既然每一个子集都有测度，那么两个不相交的子集的并集也应该有一个测度，而且这个测度应该等于两者之和。更概括地说，可数个两两不相交的子集的并集的测度应该等于每一个子集的测度之和。（这里说的是可数个！因为只有可数个集合的测度才具有“可加性”，可加性是什么？我们后文会仔细讨论。）
这便是测度的定义。用规范一些的语言来说：
形式上说，一个测度 μ（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。设 A 是集合 X 上的一个 σ 代数，μ 在 A 上定义，与扩充空间 [0，∞) 中取值，并满足以下性质：
1.空集的测度为零：
μ(Φ)=0
2.可数可加性，或称σ可加性：若 E1，E2，…为 A 中可数个两两不交的集合的序列，则所有 Ei 的并集的测度，等于每个 Ei 的测度之总和：
这样的三元组 (X，A，μ) 称为一个测度空间，而 A 中的元素称为这个空间中的可测集。
好的，那么一条线段的测度到底是什么呢？上述两条定义并没有告诉我们，于是我们接着定义：
3.如果把直线看作实数轴，那么从数轴上 a 点到 b 点的线段（这是直线的一个子集）对应的测度应该等于 b-a。
这三条性质加在一起，便定义了勒贝格测度（Lebesgue measure）。不难发现，要满足这三条性质，单点的测度必须为零，否则会导致计算上的矛盾。
当然，还有很多其他的测度，它们只满足前两条性质而不满足第三条性质，且往往不符合我们对于“长度”的直观理解，但依然有着广泛的应用，比如狄拉克测度（Dirac measure）。
接下来我们就可以回答题主的问题了：为什么由测度为零的点构成的线段的测度却不为零呢？
我们已经知道实数不可数，而每个实数又对应了数轴上的一个点，所以数轴上的点的个数也是不可数的。
回顾一下测度的第二条性质，为什么一定要强调“可数个”呢？因为只有可数个集合的测度才具有“可加性”。
想想加法是怎么做的？给定两个数，我们可以求出它们的和。三个数呢？那我们就先把两个数加起来，然后再把它们的和加上第三个数。四个数呢？那我们就先把两个数加起来，然后再把它们的和加上第三个数，然后再把三个数的和加上第四个数。
可见，我们必须得知道 n 个数的和，才能知道 n+1 的数的和。这样，我们才能对任意有限个数进行求和。无限个数就不一定了？那必须得保证无穷级数收敛才行。
但是，这里的总个数必须得是可数的！如果我们都不能把它们一个个既不重复又不遗漏地列出来，怎么把它们一个个加起来呢？
这就是问题所在。
线段是由点构成的，但是是由不可数个点构成的。所以“把这些点加起来”毫无意义，因为它们是加不起来的。长度，可以说是线段在勒贝格测度里的一个性质，计算方法参见第三条定义，而不是“把点加起来”。
希望我的回答对题主有所帮助。
有纰漏之处，敬请指正。
当时查了很多资料，大多已记不太清是在哪里了，但是最主要的是木遥老师写的文章：
当然，还有在 wikipedia 上打开的无数窗口。